Применяя графический метод решения ЗЛП, определить наибольшее и наименьшее значения линейной формы при указанных ограничениях

3x₁+4x₂≥18

3x₁-x₂≥3

x₁-6x₂≥-33

x₁≤9

x₁-x₂≤12

x₁, x₂≥0

F=2-2x₁+4x₂

Решение.

Построим ограничивающие прямые, для чего вначале найдём точки, через которые они проходят.

(1)  3x₁+4x₂=18  (2;3) (6;0)

(2)   3x₁-x₂=3       (1;0) (0;-3)

(3)   x₁-6x₂=-33    (-3;5) (3;6)

(4)   x₁=9

(5)   x₁-x₂=12        (12;0) (9;-3)

(6) х₁=0

(7) x₂=0

Для определения полуплоскости, удовлетворяющей условию неравенства, необходимо подставить координаты любой точки, не лежащей на прямой, в неравенство. Если неравенство верное – точка лежит в нужной полуплоскости, иначе берём противоположную полуплоскость.

Область, удовлетворяющая всем условиям, заштрихована. Вектор нормали N проходит через точки (0;0) и (-2;4). Строим линию уровня L перпендикулярно вектору нормали N так, чтобы она пересекала область допустимых решений. Для нахождения максимального значения двигаем линию уровня L до конца области в направлении вектора нормали N, для нахождения минимального значения – в противоположном направлении.

F_max=F(3;6)=2-2*3+4*6=20

F_min=F(9;0)=2-2*9+4*0= -18